第一章 预备知识

一、Python基础

1. 列表推导式与条件赋值

在生成一个数字序列的时候，在Python中可以如下写出：

L = []
def my_func(x):
    return 2*x
for i in range(5):
    L.append(my_func(i))
L

[0, 2, 4, 6, 8]

事实上可以利用列表推导式进行写法上的简化：[* for i in *]。其中，第一个*为映射函数，其输入为后面i指代的内容，第二个*表示迭代的对象。

[my_func(i) for i in range(5)]

[0, 2, 4, 6, 8]

列表表达式还支持多层嵌套，如下面的例子中第一个for为外层循环，第二个为内层循环：

[m+'_'+n for m in ['a', 'b'] for n in ['c', 'd']]

['a_c', 'a_d', 'b_c', 'b_d']

除了列表推导式，另一个实用的语法糖是带有if选择的条件赋值，其形式为value = a if condition else b：

value = 'cat' if 2>1 else 'dog'
value

'cat'

等价于如下的写法：

a, b = 'cat', 'dog'
condition = 2 > 1 # 此时为True
if condition:
    value = a
else:
    value = b

下面举一个例子，截断列表中超过5的元素，即超过5的用5代替，小于5的保留原来的值：

L = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
[i if i <= 5 else 5 for i in L]

[1, 2, 3, 4, 5, 5, 5]

2. 匿名函数与map方法

有一些函数的定义具有清晰简单的映射关系，例如上面的my_func函数，这时候可以用匿名函数的方法简洁地表示：

my_func = lambda x: 2*x
my_func(3)

6

multi_para_func = lambda a, b: a + b
multi_para_func(1, 2)

3

但上面的用法其实违背了“匿名”的含义，事实上它往往在无需多处调用的场合进行使用，例如上面列表推导式中的例子，用户不关心函数的名字，只关心这种映射的关系：

[(lambda x: 2*x)(i) for i in range(5)]

[0, 2, 4, 6, 8]

对于上述的这种列表推导式的匿名函数映射，Python中提供了map函数来完成，它返回的是一个map对象，需要通过list转为列表：

list(map(lambda x: 2*x, range(5)))

[0, 2, 4, 6, 8]

对于多个输入值的函数映射，可以通过追加迭代对象实现：

list(map(lambda x, y: str(x)+'_'+y, range(5), list('abcde')))

['0_a', '1_b', '2_c', '3_d', '4_e']

3. zip对象与enumerate方法

zip函数能够把多个可迭代对象打包成一个元组构成的可迭代对象，它返回了一个zip对象，通过tuple, list可以得到相应的打包结果：

L1, L2, L3 = list('abc'), list('def'), list('hij')
list(zip(L1, L2, L3))

[('a', 'd', 'h'), ('b', 'e', 'i'), ('c', 'f', 'j')]

tuple(zip(L1, L2, L3))

(('a', 'd', 'h'), ('b', 'e', 'i'), ('c', 'f', 'j'))

往往会在循环迭代的时候使用到zip函数：

for i, j, k in zip(L1, L2, L3):
     print(i, j, k)

a d h
b e i
c f j

enumerate是一种特殊的打包，它可以在迭代时绑定迭代元素的遍历序号：

L = list('abcd')
for index, value in enumerate(L):
     print(index, value)

0 a
1 b
2 c
3 d

用zip对象也能够简单地实现这个功能：

for index, value in zip(range(len(L)), L):
     print(index, value)

0 a
1 b
2 c
3 d

当需要对两个列表建立字典映射时，可以利用zip对象：

dict(zip(L1, L2))

{'a': 'd', 'b': 'e', 'c': 'f'}

既然有了压缩函数，那么Python也提供了*操作符和zip联合使用来进行解压操作：

zipped = list(zip(L1, L2, L3))
zipped

[('a', 'd', 'h'), ('b', 'e', 'i'), ('c', 'f', 'j')]

list(zip(*zipped)) # 三个元组分别对应原来的列表

[('a', 'b', 'c'), ('d', 'e', 'f'), ('h', 'i', 'j')]

二、Numpy基础

1. np数组的构造

最一般的方法是通过array来构造：

import numpy as np
np.array([1,2,3])

array([1, 2, 3])

下面讨论一些特殊数组的生成方式：

【a】等差序列：np.linspace, np.arange

np.linspace(1,5,11) # 起始、终止（包含）、样本个数

array([1. , 1.4, 1.8, 2.2, 2.6, 3. , 3.4, 3.8, 4.2, 4.6, 5. ])

np.arange(1,5,2) # 起始、终止（不包含）、步长

array([1, 3])

【b】特殊矩阵：zeros, eye, full

np.zeros((2,3)) # 传入元组表示各维度大小

array([[0., 0., 0.],
       [0., 0., 0.]])

np.eye(3) # 3*3的单位矩阵

array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

np.eye(3, k=1) # 偏移主对角线1个单位的伪单位矩阵

array([[0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.],
       [0., 0., 0.]])

np.full((2,3), 10) # 元组传入大小，10表示填充数值

array([[10, 10, 10],
       [10, 10, 10]])

np.full((2,3), [1,2,3]) # 每行填入相同的列表

array([[1, 2, 3],
       [1, 2, 3]])

【c】随机矩阵：np.random

最常用的随机生成函数为rand, randn, randint, choice，它们分别表示0-1均匀分布的随机数组、标准正态的随机数组、随机整数组和随机列表抽样：

np.random.rand(3) # 生成服从0-1均匀分布的三个随机数

array([0.92340835, 0.20019461, 0.40755472])

np.random.rand(3, 3) # 注意这里传入的不是元组，每个维度大小分开输入

array([[0.8012362 , 0.53154881, 0.05858554],
       [0.13103034, 0.18108091, 0.30253153],
       [0.00528884, 0.99402007, 0.36348797]])

对于服从区间a到b上的均匀分布可以如下生成：

a, b = 5, 15
(b - a) * np.random.rand(3) + a

array([6.59370831, 8.03865138, 9.19172546])

一般的，可以选择已有的库函数：

np.random.uniform(5, 15, 3)

array([11.26499636, 13.12311185,  6.00774156])

randn生成了N(0,I)的标准正态分布：

np.random.randn(3)

array([ 1.87000209,  1.19885561, -0.58802943])

np.random.randn(2, 2)

array([[-1.3642839 , -0.31497567],
       [-1.9452492 , -3.17272882]])

对于服从方差为${\sigma }^2$均值为$\mu$的一元正态分布可以如下生成：

sigma, mu = 2.5, 3
mu + np.random.randn(3) * sigma

array([1.56024917, 0.22829486, 7.3764211 ])

同样的，也可选择从已有函数生成：

np.random.normal(3, 2.5, 3)

array([3.53517851, 5.3441269 , 3.51192744])

randint可以指定生成随机整数的最小值最大值（不包含）和维度大小：

low, high, size = 5, 15, (2,2) # 生成5到14的随机整数
np.random.randint(low, high, size)

array([[ 5, 12],
       [14,  9]])

choice可以从给定的列表中，以一定概率和方式抽取结果，当不指定概率时为均匀采样，默认抽取方式为有放回抽样：

my_list = ['a', 'b', 'c', 'd']
np.random.choice(my_list, 2, replace=False, p=[0.1, 0.7, 0.1 ,0.1])

array(['b', 'a'], dtype='<U1')

np.random.choice(my_list, (3,3))

array([['c', 'b', 'd'],
       ['d', 'a', 'd'],
       ['a', 'c', 'd']], dtype='<U1')

当返回的元素个数与原列表相同时，不放回抽样等价于使用permutation函数，即打散原列表：

np.random.permutation(my_list)

array(['c', 'a', 'd', 'b'], dtype='<U1')

最后，需要提到的是随机种子，它能够固定随机数的输出结果：

np.random.seed(0)
np.random.rand()

0.5488135039273248

np.random.seed(0)
np.random.rand()

0.5488135039273248

2. np数组的变形与合并

【a】转置：T

np.zeros((2,3)).T

array([[0., 0.],
       [0., 0.],
       [0., 0.]])

【b】合并操作：r_, c_

对于二维数组而言，r_和c_分别表示上下合并和左右合并：

np.r_[np.zeros((2,3)),np.zeros((2,3))]

array([[0., 0., 0.],
       [0., 0., 0.],
       [0., 0., 0.],
       [0., 0., 0.]])

np.c_[np.zeros((2,3)),np.zeros((2,3))]

array([[0., 0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0., 0.]])

一维数组和二维数组进行合并时，应当把其视作列向量，在长度匹配的情况下只能够使用左右合并的c_操作：

try:
     np.r_[np.array([0,0]),np.zeros((2,1))]
except Exception as e:
     Err_Msg = e
Err_Msg

ValueError('all the input arrays must have same number of dimensions, but the array at index 0 has 1 dimension(s) and the array at index 1 has 2 dimension(s)')

np.r_[np.array([0,0]),np.zeros(2)]

array([0., 0., 0., 0.])

np.c_[np.array([0,0]),np.zeros((2,3))]

array([[0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0.]])

【c】维度变换：reshape

reshape能够帮助用户把原数组按照新的维度重新排列。在使用时有两种模式，分别为C模式和F模式，分别以逐行和逐列的顺序进行填充读取。

target = np.arange(8).reshape(2,4)
target

array([[0, 1, 2, 3],
       [4, 5, 6, 7]])

target.reshape((4,2), order='C') # 按照行读取和填充

array([[0, 1],
       [2, 3],
       [4, 5],
       [6, 7]])

target.reshape((4,2), order='F') # 按照列读取和填充

array([[0, 2],
       [4, 6],
       [1, 3],
       [5, 7]])

特别地，由于被调用数组的大小是确定的，reshape允许有一个维度存在空缺，此时只需填充-1即可：

target.reshape((4,-1))

array([[0, 1],
       [2, 3],
       [4, 5],
       [6, 7]])

下面将n*1大小的数组转为1维数组的操作是经常使用的：

target = np.ones((3,1))
target

array([[1.],
       [1.],
       [1.]])

target.reshape(-1)

array([1., 1., 1.])

3. np数组的切片与索引

数组的切片模式支持使用slice类型的start:end:step切片，还可以直接传入列表指定某个维度的索引进行切片：

target = np.arange(9).reshape(3,3)
target

array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],
       [6, 7, 8]])

target[:-1, [0,2]]

array([[0, 2],
       [3, 5]])

此外，还可以利用np.ix_在对应的维度上使用布尔索引，但此时不能使用slice切片：

target[np.ix_([True, False, True], [True, False, True])]

array([[0, 2],
       [6, 8]])

target[np.ix_([1,2], [True, False, True])]

array([[3, 5],
       [6, 8]])

当数组维度为1维时，可以直接进行布尔索引，而无需np.ix_：

new = target.reshape(-1)
new[new%2==0]

array([0, 2, 4, 6, 8])

4. 常用函数

为了简单起见，这里假设下述函数输入的数组都是一维的。

【a】where

where是一种条件函数，可以指定满足条件与不满足条件位置对应的填充值：

a = np.array([-1,1,-1,0])
np.where(a>0, a, 5) # 对应位置为True时填充a对应元素，否则填充5

array([5, 1, 5, 5])

【b】nonzero, argmax, argmin

这三个函数返回的都是索引，nonzero返回非零数的索引，argmax, argmin分别返回最大和最小数的索引：

a = np.array([-2,-5,0,1,3,-1])
np.nonzero(a)

(array([0, 1, 3, 4, 5], dtype=int64),)

a.argmax()

4

a.argmin()

1

【c】any, all

any指当序列至少 存在一个 True或非零元素时返回True，否则返回False

all指当序列元素 全为 True或非零元素时返回True，否则返回False

a = np.array([0,1])
a.any()

True

 a.all()

False

【d】cumprod, cumsum, diff

cumprod, cumsum分别表示累乘和累加函数，返回同长度的数组，diff表示和前一个元素做差，由于第一个元素为缺失值，因此在默认参数情况下，返回长度是原数组减1

a = np.array([1,2,3])
a.cumprod()

array([1, 2, 6], dtype=int32)

a.cumsum()

array([1, 3, 6], dtype=int32)

np.diff(a)

array([1, 1])

【e】 统计函数

常用的统计函数包括max, min, mean, median, std, var, sum, quantile，其中分位数计算是全局方法，因此不能通过array.quantile的方法调用：

target = np.arange(5)
target

array([0, 1, 2, 3, 4])

target.max()

4

np.quantile(target, 0.5) # 0.5分位数

2.0

但是对于含有缺失值的数组，它们返回的结果也是缺失值，如果需要略过缺失值，必须使用nan*类型的函数，上述的几个统计函数都有对应的nan*函数。

target = np.array([1, 2, np.nan])
target

array([ 1.,  2., nan])

target.max()

nan

np.nanmax(target)

2.0

np.nanquantile(target, 0.5)

1.5

对于协方差和相关系数分别可以利用cov, corrcoef如下计算：

target1 = np.array([1,3,5,9])
target2 = np.array([1,5,3,-9])
np.cov(target1, target2)

array([[ 11.66666667, -16.66666667],
       [-16.66666667,  38.66666667]])

np.corrcoef(target1, target2)

array([[ 1.        , -0.78470603],
       [-0.78470603,  1.        ]])

最后，需要说明二维Numpy数组中统计函数的axis参数，它能够进行某一个维度下的统计特征计算，当axis=0时结果为列的统计指标，当axis=1时结果为行的统计指标：

target = np.arange(1,10).reshape(3,-1)
target

array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])

target.sum(0)

array([12, 15, 18])

target.sum(1)

array([ 6, 15, 24])

5. 广播机制

广播机制用于处理两个不同维度数组之间的操作，这里只讨论不超过两维的数组广播机制。

【a】标量和数组的操作

当一个标量和数组进行运算时，标量会自动把大小扩充为数组大小，之后进行逐元素操作：

res = 3 * np.ones((2,2)) + 1
res

array([[4., 4.],
       [4., 4.]])

res = 1 / res
res

array([[0.25, 0.25],
       [0.25, 0.25]])

【b】二维数组之间的操作

当两个数组维度完全一致时，使用对应元素的操作，否则会报错，除非其中的某个数组的维度是$m\times 1$或者$1\times n$，那么会扩充其具有$1$的维度为另一个数组对应维度的大小。例如，$1\times 2$数组和$3\times 2$数组做逐元素运算时会把第一个数组扩充为$3\times 2$，扩充时的对应数值进行赋值。但是，需要注意的是，如果第一个数组的维度是$1\times 3$，那么由于在第二维上的大小不匹配且不为$1$，此时报错。

res = np.ones((3,2))
res

array([[1., 1.],
       [1., 1.],
       [1., 1.]])

res * np.array([[2,3]]) # 第二个数组扩充第一维度为3

array([[2., 3.],
       [2., 3.],
       [2., 3.]])

res * np.array([[2],[3],[4]]) # 第二个数组扩充第二维度为2

array([[2., 2.],
       [3., 3.],
       [4., 4.]])

res * np.array([[2]]) # 等价于两次扩充，第二个数组两个维度分别扩充为3和2

array([[2., 2.],
       [2., 2.],
       [2., 2.]])

【c】一维数组与二维数组的操作

当一维数组$A_k$与二维数组$B_{m,n}$操作时，等价于把一维数组视作$A_{1,k}$的二维数组，使用的广播法则与【b】中一致，当$k!=n$且$k,n$都不是$1$时报错。

np.ones(3) + np.ones((2,3))

array([[2., 2., 2.],
       [2., 2., 2.]])

np.ones(3) + np.ones((2,1))

array([[2., 2., 2.],
       [2., 2., 2.]])

np.ones(1) + np.ones((2,3))

array([[2., 2., 2.],
       [2., 2., 2.]])

6. 向量与矩阵的计算

【a】向量内积：dot

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sum _{\mathrm{i}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}$$

a = np.array([1,2,3])
b = np.array([1,3,5])
a.dot(b)

22

【b】向量范数和矩阵范数：np.linalg.norm

在矩阵范数的计算中，最重要的是ord参数，可选值如下：

ord	norm for matrices	norm for vectors
None	Frobenius norm	2-norm
'fro'	Frobenius norm	/
'nuc'	nuclear norm	/
inf	max(sum(abs(x), axis=1))	max(abs(x))
-inf	min(sum(abs(x), axis=1))	min(abs(x))
0	/	sum(x != 0)
1	max(sum(abs(x), axis=0))	as below
-1	min(sum(abs(x), axis=0))	as below
2	2-norm (largest sing. value)	as below
-2	smallest singular value	as below
other	/	sum(abs(x)**ord)**(1./ord)

matrix_target =  np.arange(4).reshape(-1,2)
matrix_target

array([[0, 1],
       [2, 3]])

np.linalg.norm(matrix_target, 'fro')

3.7416573867739413

np.linalg.norm(matrix_target, np.inf)

5.0

np.linalg.norm(matrix_target, 2)

3.702459173643833

vector_target =  np.arange(4)
vector_target

array([0, 1, 2, 3])

np.linalg.norm(vector_target, np.inf)

3.0

np.linalg.norm(vector_target, 2)

3.7416573867739413

np.linalg.norm(vector_target, 3)

3.3019272488946263

【c】矩阵乘法：@

$$[{\mathbf{A}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{p}}{\mathbf{B}}_{\mathrm{p}\times \mathrm{n}}{]}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}=\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{p}}{\mathbf{A}}_{\mathrm{i}\mathrm{k}}{\mathbf{B}}_{\mathrm{k}\mathrm{j}}$$

a = np.arange(4).reshape(-1,2)
a

array([[0, 1],
       [2, 3]])

b = np.arange(-4,0).reshape(-1,2)
b

array([[-4, -3],
       [-2, -1]])

a@b

array([[ -2,  -1],
       [-14,  -9]])

三、练习

Ex1：利用列表推导式写矩阵乘法

一般的矩阵乘法根据公式，可以由三重循环写出，请将其改写为列表推导式的形式。

M1 = np.random.rand(2,3)
M2 = np.random.rand(3,4)
res = np.empty((M1.shape[0],M2.shape[1]))
for i in range(M1.shape[0]):
    for j in range(M2.shape[1]):
        item = 0
        for k in range(M1.shape[1]):
            item += M1[i][k] * M2[k][j]
        res[i][j] = item
(np.abs((M1@M2 - res) < 1e-15)).all() # 排除数值误差

True

Ex2：更新矩阵

设矩阵 $A_{m\times n}$ ，现在对 $A$ 中的每一个元素进行更新生成矩阵 $B$ ，更新方法是 $B_{ij}=A_{ij}\sum _{k=1}^n\frac{1}{A_{ik}}$ ，例如下面的矩阵为 $A$ ，则 $B_{2,2}=5\times (\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})=\frac{37}{12}$ ，请利用 Numpy 高效实现。

$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\end{array}$$

Ex3：卡方统计量

设矩阵$A_{m\times n}$，记$B_{ij}=\frac{(\sum _{i=1}^m{A}_{ij})\times (\sum _{j=1}^n{A}_{ij})}{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{A}_{ij}}$，定义卡方值如下：

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n\frac{(A_{ij}-B_{ij}{)}^2}{B_{ij}}$$

请利用Numpy对给定的矩阵$A$计算${\chi }^2$

np.random.seed(0)
A = np.random.randint(10, 20, (8, 5))

Ex4：改进矩阵计算的性能

设$Z$为$m\times n$的矩阵，$B$和$U$分别是$m\times p$和$p\times n$的矩阵，$B_i$为$B$的第$i$行，$U_j$为$U$的第$j$列，下面定义${\displaystyle R=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n\parallel B_i-U_j{\parallel }_2^2{Z}_{ij}}$，其中$\parallel \mathbf{a}{\parallel }_2^2$表示向量$a$的分量平方和$\sum _i{a}_i^2$。

现有某人根据如下给定的样例数据计算$R$的值，请充分利用Numpy中的函数，基于此问题改进这段代码的性能。

np.random.seed(0)
m, n, p = 100, 80, 50
B = np.random.randint(0, 2, (m, p))
U = np.random.randint(0, 2, (p, n))
Z = np.random.randint(0, 2, (m, n))
def solution(B=B, U=U, Z=Z):
    L_res = []
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            norm_value = ((B[i]-U[:,j])**2).sum()
            L_res.append(norm_value*Z[i][j])
    return sum(L_res)
solution(B, U, Z)

100566

Ex5：连续整数的最大长度

输入一个整数的Numpy数组，返回其中严格递增连续整数子数组的最大长度，正向是指递增方向。例如，输入[1,2,5,6,7]，[5,6,7]为具有最大长度的连续整数子数组，因此输出3；输入[3,2,1,2,3,4,6]，[1,2,3,4]为具有最大长度的连续整数子数组，因此输出4。请充分利用Numpy的内置函数完成。（提示：考虑使用nonzero, diff函数）