Classification: Probabilistic Generative Model

Classification

概念描述

分类问题是找一个function，它的input是一个object，它的输出是这个object属于哪一个class

还是以宝可梦为例，已知宝可梦有18种属性，现在要解决的分类问题就是做一个宝可梦种类的分类器，我们要找一个function，这个function的input是某一只宝可梦，它的output就是这只宝可梦属于这18类别中的哪一个type

输入数值化

对于宝可梦的分类问题来说，我们需要解决的第一个问题就是，怎么把某一只宝可梦当做function的input？

==要想把一个东西当做function的input，就需要把它数值化==

特性数值化：用一组数字来描述一只宝可梦的特性

比如用一组数字表示它有多强(total strong)、它的生命值(HP)、它的攻击力(Attack)、它的防御力(Defense)、它的特殊攻击力(Special Attack)、它的特殊攻击的防御力(Special defend)、它的速度(Speed)

以皮卡丘为例，我们可以用以上七种特性的数值所组成的vector来描述它

How to classification

Training data for Classification

假设我们把编号400以下的宝可梦当做training data，编号400以上的当做testing data，因为宝可梦随着版本更新是不断增加的，编号比较前面的宝可梦是比较早发现的，所以我们去模拟已经发现这些宝可梦的情况下，如果看到新的宝可梦，能不能够预测它是哪种属性

Classification as Regression？

可以把分类问题当做回归问题来解吗？

以binary classification为例，我们在Training时让输入为class 1的输出为1，输入为class 2的输出为-1；那么在testing的时候，regression的output是一个数值，它接近1则说明它是class 1，它接近-1则说明它是class 2

如果这样做，会遇到什么样的问题？

假设现在我们的model是$y=b+w_1\cdot x_1+w_2\cdot x_2$，input是两个feature，$x_1$和$x_2$

有两个class，蓝色的是class 1，红色的是class 2，如果用Regression的做法，那么就希望蓝色的这些属于class 1的宝可梦，input到Regression的model，output越接近1越好；红色的属于class 2的宝可梦，input到Regression的model，output越接近-1越好

假设我们真的找到了这个function，就像下图左边所示，绿色的线表示$b+w_1{x}_1+w_2{x}_2=0$，也就是class 1和class 2的分界线，这种情况下，值接近-1的宝可梦都集中在绿线的左上方，值接近1的宝可梦都集中在绿线的右下方，这样的表现是蛮好的

但是上述现象只会出现在样本点比较集中地分布在output为-1和1的情况，如果像下图右侧所示，我们已经知道绿线为最好的那个model的分界线，它的左上角的值小于0，右下角的值大于0，越往右下方值越大，所以如果要考虑右下角这些点的话，用绿线对应的model，它们做Regression的时候output会是远大于1的，但是你做Regression的时候，实际上已经给所有的点打上了-1或1的标签(把-1或1当做“真值”)，你会希望这些紫色点在model中的output都越接近1(接近所谓的“真值”)越好，所以这些output远大于1的点，它对于绿线对应的model来说是error，是不好的，所以这组样本点通过Regression训练出来的model，会是紫色这条分界线对应的model，因为相对于绿线，它“减小”了由右下角这些点所带来的error

Regression的output是连续性质的数值，而classification要求的output是离散性质的点，我们很难找到一个Regression的function使大部分样本点的output都集中在某几个离散的点附近

因此，Regression定义model好坏的定义方式对classification来说是不适用的

注：该图为三维图像在二维图像上的投影，颜色表示y的大小

而且值得注意的是，如果是多元分类问题，把class 1的target当做是1，class 2的target当做是2，class 3的target当做是3的做法是错误的，因为当你这样做的时候，就会被Regression认为class 1和class 2的关系是比较接近的，class 2和class 3的关系是比较接近的，而class 1和class 3的关系是比较疏远的；但是当这些class之间并没有什么特殊的关系的时候，这样的标签用Regression是没有办法得到好的结果的(one-hot编码也许是一种解决方案？)

Ideal Alternatives

注意到Regression的output是一个real number，但是在classification的时候，它的output是discrete(用来表示某一个class)

理想的方法是这样的：

Function(Model)

我们要找的function f(x)里面会有另外一个function g(x)，当我们的input x输入后，如果g(x)>0，那f(x)的输出就是class 1，如果g(x)<0，那f(x)的输出就是class 2，这个方法保证了function的output都是离散的表示class的数值

那之前不是说输出是1,2,3...是不行的吗，注意，那是针对Regression的loss function而言的，因为Regression的loss function是用output与“真值”的平方和作为评判标准的，这样输出值(3,2)与(3,1)之间显然是(3,2)关系更密切一些，为了解决这个问题，我们只需要重新定义一个loss function即可

Loss function

我们可以把loss function定义成$L(f)=\sum _n\delta (f(x^n)\ne {\hat{y}}^n)$，即这个model在所有的training data上predict预测错误的次数，也就是说分类错误的次数越少，这个function表现得就越好

但是这个loss function没有办法微分，是无法用gradient descent的方法去解的，当然有Perceptron、SVM这些方法可以用，但这里先用另外一个solution来解决这个问题

Solution：Generative model

概率理论解释

假设我们考虑一个二元分类的问题，我们拿到一个input x，想要知道这个x属于class 1或class 2的概率

实际上就是一个贝叶斯公式，x属于class 1的概率就等于class 1自身发生的概率乘上在class 1里取出x这种颜色的球的概率除以在class 1和 class 2里取出x这种颜色的球的概率(后者是全概率公式)

==贝叶斯公式=单条路径概率/所有路径概率和==

graph LR
A(摸球) -->|从class 1里摸球的概率| B(class 1)
A -->|从class 2里摸球的概率| C(class 2)
B -->|在class 1里摸到x的概率|D(摸到x)
C -->|在class 2里摸到x的概率|D

因此我们想要知道x属于class 1或是class 2的概率，只需要知道4个值：$P(C_1),P(x|C_1),P(C_2),P(x|C_2)$，我们希望从Training data中估测出这四个值

流程图简化如下：

graph LR
A(begin)
A--> |"P(C1)"| B(Class 1)
A--> |"P(C2)"| C(Class 2)
B--> |"P(x|C1)"| D(x)
C--> |"P(x|C2)"| D(x)

于是我们得到：(分母为全概率公式)

• x属于Class 1的概率为第一条路径除以两条路径和：$P(C_1|x)=\frac{P(C_1)P(x|C_1)}{P(C_1)P(x|C_1)+P(C_2)P(x|C_2)}$
• x属于Class 2的概率为第二条路径除以两条路径和：$P(C_2|x)=\frac{P(C_2)P(x|C_2)}{P(C_1)P(x|C_1)+P(C_2)P(x|C_2)}$

这一整套想法叫做Generative model(生成模型)，为什么叫它Generative model呢？因为有这个model的话，就可以拿它来generate生成x(如果你可以计算出每一个x出现的概率，就可以用这个distribution分布来生成x、sample x出来)

Prior

$P(C_1)$和$P(C_2)$这两个概率，被称为Prior，计算这两个值还是比较简单的

假设我们还是考虑二元分类问题，编号小于400的data用来Training，编号大于400的data用来testing，如果想要严谨一点，可以在Training data里面分一部分validation出来模拟testing的情况

在Training data里面，有79只水系宝可梦，61只一般系宝可梦，那么$P(C_1)=79/(79+61)=0.56$，$P(C_2)=61/(79+61)=0.44$

现在的问题是，怎么得到$P(x|C_1)$和$P(x|C_2)$的值

Probability from Class

怎么得到$P(x|C_1)$和$P(x|C_2)$的值呢？假设我们的x是一只新来的海龟，它显然是水系的，但是在我们79只水系的宝可梦training data里面根本就没有海龟，所以挑一只海龟出来的可能性根本就是0啊！所以该怎么办呢？

其实每一只宝可梦都是用一组特征值组成的向量来表示的，在这个vector里一共有七种不同的feature，为了方便可视化，这里先只考虑Defense和SP Defence这两种feature

假设海龟的vector是[103 45]，虽然这个点在已有的数据里并没有出现过，但是不可以认为它出现的概率为0，我们需要用已有的数据去估测海龟出现的可能性

你可以想象说这已有的79只水系宝可梦的data其实只是冰山一角，假定水系神奇宝贝的Defense和SP Defense是从一个Gaussian的distribution里面sample出来的，下图只是采样了79个点之后得到的分布，但是从高斯分布里采样出海龟这个点的几率并不是0，那从这79个已有的点，怎么找到那个Gaussian distribution函数呢？

Gaussian Distribution

先介绍一下高斯函数，这里$u$表示均值，$\mathrm{\Sigma }$表示方差，两者都是矩阵matrix，那高斯函数的概率密度函数则是：

$$f_{u,\mathrm{\Sigma }}(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{D}{2}}}\frac{1}{|\mathrm{\Sigma }{|}^{\frac{1}{2}}}{e}^{-\frac{1}{2}(x-u{)}^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(x-u)}$$

从下图中可以看出，同样的$\mathrm{\Sigma }$，不同的$u$，概率分布最高点的地方是不一样的

同理，如果是同样的$u$，不同的$\mathrm{\Sigma }$，概率分布最高点的地方是一样的，但是分布的密集程度是不一样的

那接下来的问题就是怎么去找出这个Gaussian，只需要去估测出这个Gaussian的均值$u$和协方差$\mathrm{\Sigma }$即可

估测$u$和$\mathrm{\Sigma }$的方法就是极大似然估计法(Maximum Likelihood)，极大似然估计的思想是，==找出最特殊的那对$u$和$\mathrm{\Sigma }$，从它们共同决定的高斯函数中再次采样出79个点，使”得到的分布情况与当前已知79点的分布情况相同“这件事情发生的可能性最大==

实际上任意一组$u$和$\mathrm{\Sigma }$对应的高斯函数($u$表示该Gaussian的中心点，$\mathrm{\Sigma }$表示该Gaussian的分散程度)都有可能sample出跟当前分布一致的样本点，就像上图中的两个红色圆圈所代表的高斯函数，但肯定存在着发生概率最大的哪一个Gaussian，而这个函数就是我们要找的

而极大似然函数$L(u,\mathrm{\Sigma })=f_{u,\mathrm{\Sigma }}(x^1)\cdot f_{u,\mathrm{\Sigma }}(x^2)...f_{u,\mathrm{\Sigma }}(x^{79})$，实际上就是该事件发生的概率就等于每个点都发生的概率之积，我们只需要把每一个点的data代进去，就可以得到一个关于$u$和$\mathrm{\Sigma }$的函数，分别求偏导，解出微分是0的点，即使L最大的那组参数，便是最终的估测值，通过微分得到的高斯函数的$u$和$\mathrm{\Sigma }$的最优解如下：

$$\begin{gathered} u^{\ast },{\mathrm{\Sigma }}^{\ast }=\arg \underset{u,\mathrm{\Sigma }}{max}L(u,\mathrm{\Sigma }) \\ {u}^{\ast }=\frac{1}{79}\sum _{n=1}^{79}{x}^n{\mathrm{\Sigma }}^{\ast }=\frac{1}{79}\sum _{n=1}^{79}(x^n-u^{\ast })(x^n-u^{\ast }{)}^T \end{gathered}$$

当然如果你不愿意去现场求微分的话，这也可以当做公式来记忆($u^{\ast }$刚好是数学期望，${\mathrm{\Sigma }}^{\ast }$刚好是协方差)

注：数学期望：$u=E(X)$，协方差：$\mathrm{\Sigma }=cov(X,Y)=E[(X-u)(Y-u{)}^T]$，对同一个变量来说，协方差为$cov(X,X)=E[(X-u)(X-u{)}^T$

根据上述的公式和已有的79个点的数据，计算出class 1的两个参数：

$$u=\left[\begin{array}{c}75.0\\ 71.3\end{array}\right]\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{c}874327\\ 327929\end{array}\right]$$

同理，我们用极大似然估计法在高斯函数上的公式计算出class 2的两个参数，得到的最终结果如下：

有了这些以后，我们可以得到$P(C_1),P(x|C_1),P(C_2),P(x|C_2)$这四个值，就可以开始做分类的问题了

Do Classification！

已有的准备

现在我们已经有了以下数据和具体分布：

只要带入某一个input x，就可以通过这个式子计算出它是否是class 1了！

得到的结果

通过可视化得到的结果如下：

左上角的图中，横轴是Defense，纵轴是SP Defense，蓝色的点是水系的宝可梦的分布，红色的点是一般系的宝可梦的分布，对图中的每一个点都计算出它是class 1的概率$P(C_1|x)$，这个概率用颜色来表示，如果某点在红色区域，表示它是水系宝可梦的概率更大；如果该点在其他颜色的区域，表示它是水系宝可梦的概率比较小

因为我们做的是分类问题，因此令几率>0.5的点为类别1，几率<0.5的点为类别2，也就是右上角的图中的红色和蓝色两块区域

再把testing data上得到的结果可视化出来，即右下角的图，发现分的不是太好，正确率才是47%

我们之前用的只是Defense和SP Defense这两个参数，在二维空间上得到的效果不太好，但实际上一开始就提到了宝可梦总共是有6个features的，也许在二维空间上它们是重叠在一起的，但是在六维空间上看它们也许会分得很好，每一个宝可梦都是六维空间中的一个点，于是我们的$u$是一个6-dim的vector，$\mathrm{\Sigma }$则是一个6*6的matrix，发现得到的准确率也才64%，这个分类器表现得很糟糕，是否有办法将它改进的更好？

Modifying Model

其实之前使用的model是不常见的，你是不会经常看到给每一个Gaussian都有自己的mean和covariance，比如我们的class 1用的是$u_1$和${\mathrm{\Sigma }}_1$，class 2用的是$u_2$和${\mathrm{\Sigma }}_2$，比较常见的做法是，==不同的class可以share同一个cocovariance matrix==

其实variance是跟input的feature size的平方成正比的，所以当feature的数量很大的时候，$\mathrm{\Sigma }$大小的增长是可以非常快的，在这种情况下，给不同的Gaussian以不同的covariance matrix，会造成model的参数太多，而参数多会导致该model的variance过大，出现overfitting的现象，因此对不同的class使用同一个covariance matrix，可以有效减少参数

此时就把$u_1$、$u_2$和共同的$\mathrm{\Sigma }$一起去合成一个极大似然函数，此时可以发现，得到的$u_1$和$u_2$和原来一样，还是各自的均值，而$\mathrm{\Sigma }$则是原先两个${\mathrm{\Sigma }}_1$和${\mathrm{\Sigma }}_2$的加权

再来看一下结果，你会发现，class 1和class 2在没有共用covariance matrix之前，它们的分界线是一条曲线；如果共用covariance matrix的话，它们之间的分界线就会变成一条直线，这样的model，我们也称之为linear model(尽管Gaussian不是linear的，但是它分两个class的boundary是linear)

如果我们考虑所有的feature，并共用covariance的话，原来的54%的正确率就会变成73%，显然是有分对东西的，但是为什么会做到这样子，我们是很难分析的，因为这是在高维空间中发生的事情，我们很难知道boundary到底是怎么切的，但这就是machine learning它fancy的地方，人没有办法知道怎么做，但是machine可以帮我们做出来

Three Steps of classification

现在让我们来回顾一下做classification的三个步骤，实际上也就是做machine learning的三个步骤

• Find a function set(model)

  这些required probability $P(C)$和probability distribution $P(x|C)$就是model的参数，选择不同的Probability distribution(比如不同的分布函数，或者是不同参数的Gaussian distribution)，就会得到不同的function，把这些不同参数的Gaussian distribution集合起来，就是一个model，如果不适用高斯函数而选择其他分布函数，就是一个新的model了

  当这个posterior Probability $P(C|x)>0.5$的话，就output class 1，反之就output class 2($P(C_1|x)+P(C_2|x)=1$，因此没必要对class 2再去计算一遍)

• Goodness of function

  对于Gaussian distribution这个model来说，我们要评价的是决定这个高斯函数形状的均值$u$和协方差$\mathrm{\Sigma }$这两个参数的好坏，而极大似然函数$L(u,\mathrm{\Sigma })$的输出值，就评价了这组参数的好坏

• Find the best function

  找到的那个最好的function，就是使$L(u,\mathrm{\Sigma })$值最大的那组参数，实际上就是所有样本点的均值和协方差

  $$u^{\ast }=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^n{x}^i{\mathrm{\Sigma }}^{\ast }=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^n(x^i-u^{\ast })(x^i-u^{\ast }{)}^T$$

  这里上标i表示第i个点，这里x是一个features的vector，用下标来表示这个vector中的某个feature

Probability distribution

Why Gaussian distribution

你也许一直会有一个疑惑，为什么我们就要用Gaussian的model，而不选择别的分布函数，其实这里只是拿高斯分布函数举一个例子而已，你当然可以选择自己喜欢的Probability distribution概率分布函数，如果你选择的是简单的分布函数(参数比较少)，那你的bias就大，variance就小；如果你选择复杂的分布函数，那你的bias就小，variance就大，那你就可以用data set来判断一下，用什么样的Probability distribution作为model是比较好的

Naive Bayes Classifier(朴素贝叶斯分类法)

我们可以考虑这样一件事情，假设$x=[x_1{x}_2{x}_3...x_k...]$中每一个dimension $x_k$的分布都是相互独立的，它们之间的covariance都是0，那我们就可以把x产生的几率拆解成$x_1,x_2,...,x_k$产生的几率之积

这里每一个dimension的分布函数都是一维的Gaussian distribution，如果这样假设的话，等于是说，原来那多维度的Gaussian，它的covariance matrix变成是diagonal(对角的)，在不是对角线的地方，值都是0，这样就可以更加减少需要的参数量，就可以得到一个更简单的model

我们把上述这种方法叫做==Naive Bayes Classifier(朴素贝叶斯分类法)==，如果真的明确了所有的feature之间是相互独立的，是不相关的，使用朴素贝叶斯分类法的performance是会很好的，如果这个假设是不成立的，那么Naive bayes classfier的bias就会很大，它就不是一个好的classifier(朴素贝叶斯分类法本质就是减少参数)

当然这个例子里如果使用这样的model，得到的结果也不理想，因为各种feature之间的covariance还是必要的，比如战斗力和防御力它们之间是正相关的，covariance不能等于0

总之，寻找model总的原则是，尽量减少不必要的参数，但是必然的参数绝对不能少

那怎么去选择分布函数呢？有很多时候凭直觉就可以看出来，比如宝可梦有某个feature是binary的，它代表的是：是或不是，这个时候就不太可能是高斯分布了，而很有可能是伯努利分布(两点分布)

Analysis Posterior Probability

接下来我们来分析一下这个后置概率的表达式，会发现一些有趣的现象

表达式上下同除以分子，得到$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$，这个function叫做sigmoid function(S函数)

这个S函数是已知逻辑函数，现在我们来推导一下z真正的样子，推导过程如下：

上面的推导过程可能比较复杂，但是得到的最终结果还是比较好的：(当${\mathrm{\Sigma }}_1$和${\mathrm{\Sigma }}_2$共用一个$\mathrm{\Sigma }$时，经过化简相消z就变成了一个linear的function，x的系数是一个vector w，后面的一大串数字其实就是一个常数项b)

==$P(C_1|x)=\sigma (w\cdot x+b)$这个式子就解释了，当class 1和class 2共用$\mathrm{\Sigma }$的时候，它们之间的boundary会是linear的==

那在Generative model里面，我们做的事情是，我们用某些方法去找出$N_1,N_2,u_1,u_2,\mathrm{\Sigma }$，找出这些以后就算出w和b，把它们代进$P(C_1|x)=\sigma (w\cdot x+b)$这个式子，就可以算概率，但是，当你看到这个式子的时候，你可能会有一个直觉的想法，为什么要这么麻烦呢？我们的最终目标都是要找一个vector w和const b，我们何必先去搞个概率，算出一些$u,\mathrm{\Sigma }$什么的，然后再回过头来又去算w和b，这不是舍近求远吗？

所以我们能不能直接把w和b找出来呢？这是下一章节的内容