近端策略优化(ppo)

文章来源：详解近端策略优化

0.引言

ppo其实就是策略梯度的一种变形。首先介绍一下同策略（on-policy）与异策略(off-policy)的区别。

在强化学习里面，需要学习的其实就是一个智能体。如果要学习的智能体跟和环境互动的智能体是同一个的话，称之为同策略。如果要学习的智能体跟和环境互动的智能体不是同一个的话，称之为异策略。策略梯度是同策略的算法。

1. 同策略的不足之处

首先回顾一下PG的期望奖励值，公式如下。

$$\mathrm{\nabla }{\overline{R}}_{\theta }=E_{\tau \sim p_{\theta }(\tau )}[R(\tau )\mathrm{\nabla }\log p_{\theta }(\tau )]$$

上面更新的公式中的$E_{\tau \sim p_{\theta }(\tau )}$是在策略${\pi }_{\theta }$的情况下， 所采样出来的轨迹$\tau$做期望。但是如果更新了参数，从$\theta$变成$\theta \prime$，概率$p_{\theta }(\tau )$就不对了，之前采样出来的数据就不能用了。所以PG会花很多时间去采样数据，可以说大多数时间都在采样数据，智能体去跟环境做互动以后，接下来就要更新参数，只能用这些数据更新参数一次。接下来就要重新再去收集数据，才能再次更新参数。

2. 改进同策略的思路

策略梯度是同策略的算法，所以非常耗费时间，那么一个可能的改进思路是将同策略变成异策略。简单的思路就是用另外一个策略${\pi }_{\theta \prime }$， 另外一个演员$\theta \prime$去跟环境做互动。用$\theta \prime$收集到的数据去训练$\theta$。假设可以用$\theta \prime$收集到的数据去训练$\theta$，意味着说可以把$\theta \prime$收集到的数据用很多次，也就是可以执行梯度上升好几次，更新参数好几次，这都只要用同一笔数据就可以实现。因为假设$\theta$有能力学习另外一 个演员$\theta \prime$所采样出来的数据的话，那$\theta \prime$就只要采样一次，也许采样多一点的数据，让$\theta$去更新很多次， 这样就会比较有效率。

3. 同策略到异策略的具体实现

那么问题来了， 怎么找到这样的一个演员$\theta \prime$，使其收集到的数据可以用于训练$\theta$，且他们之间的差异可以被忽略不计呢？

首先介绍一个名词，重要性采样（importance sampling）。 假设有一个函数$f(x)$，$x$需要从分布$p$中采样。应该如何怎么计算$f(x)$的期望值呢？假设分布$p$不能做积分，那么可以从分布$p$尽可能多采样更多的$x_i$。这样就会得到更多的$f(x)$，取它的平均值就可以近似$f(x)$的期望值。

现在另外一个问题也来了，假设不能在分布$p$中采样数据，只能从另外一个分布$q$中去采样数据，$q$可以是任何分布。从$q$中采样$x_i$的话就不能直接套下面的式子。

$$E_{x\sim p}[f(x)]\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}f\left(x^i\right)$$

因为上式是假设$x$都是从$p$采样出来的。如果想要在$q$中采样的情况下带入上式，就需要做些变换。期望值$E_{x\sim p}[f(x)]$的另一种写法是$\int f(x)p(x)dx$，对其进行变换，如下式所示，

$$\int f(x)p(x)dx=\int f(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x)dx=E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]$$

整理得下式，

$$E_{x\sim p}[f(x)]=E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]$$

这样就可以对分布$q$中采样的$x$取期望值。具体来说，从$q$中采样$x$，再去计算$f(x)\frac{p(x)}{q(x)}$，最后取期望值。所以就算不能从$p$里面去采样数据，只要能够从$q$里面去采样数据，代入上式，就可以计算从分布$p$采样$x$代入$f(x)$以后所算出来的期望值。

这边是从$q$做采样，所以从$q$里采样出来的每一条数据，需要乘上一个重要性权重（importance weight）$\frac{p(x)}{q(x)}$来修正这两个分布的差异。$q(x)$可以是任何分布。重要性采样有一些问题。虽然可以把$p$换成任何的$q$。但是在实现上，$p$和不$q$能差太多。差太多的话，会有一些问题。两个随机变量的平均值一样，并不代表它的方差一样，这里不展开解释，感兴趣的童鞋可以带入方差公式$\mathrm{Var}[X]=E\left[X^2\right]-(E[X]{)}^2$推导一下。

现在要做的事情就是把重要性采样用在异策略的情况，把同策略训练的算法改成异策略训练的算法。 怎么改呢，如下式所示，用另外一个策略${\pi }_{\theta }\prime$，它就是另外一个演员，与环境做互动，采样出轨迹$\theta \prime$，计算$R(\tau )\nabla log{p}_{\theta }(\tau )$。

$$\mathrm{\nabla }{\overline{R}}_{\theta }=E_{\tau \sim p_{{\theta }^{\prime }(\tau )}}[\frac{p_{\theta }(\tau )}{p_{{\theta }^{\prime }}(\tau )}R(\tau )\mathrm{\nabla }\log p_{\theta }(\tau )]$$

$\theta \prime$的职责是要去示范给$\theta$看。它去跟环境做互动，采样数据来训练$\theta$。这两个分布虽然不一样，但其实没有关系。假设本来是从$p$做采样，但发现不能从$p$做采样，可以把$p$换$q$，在后面补上一个重要性权重。同理，把$\theta$换成$\theta \prime$后，要补上一个重要性权重 $\frac{p_{\theta }(\tau )}{p_{{\theta }^{\prime }}(\tau )}$。这个重要性权重就是某一个轨迹$\theta \prime$用$\theta$算出来的概率除以这个轨迹$\tau$用$\theta \prime$算出来的概率。

实际在做策略梯度的时候，并不是给整个轨迹$\theta \prime$都一样的分数，而是每一个状态-动作的对会分开来计算。实际上更新梯度的时候，如下式所示。

$$E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{\theta }}[A^{\theta }(s_t,a_t)\mathrm{\nabla }\log p_{\theta }(a_t^n\mid s_t^n)]$$

用演员$\theta$去采样出$s_t$跟 $a_t$ ，采样出状态跟动作的对，并计算这个状态跟动作对的优势$A_{\theta }(s_t,a_t)$。$A_{\theta }(s_t,a_t)$就是累积奖励减掉偏置项，这一项是估测出来的。它要估测的是在状态$s_t$采取动作$a_t$** 是好的还是不好的**。也就是说如果$A_{\theta }(s_t,a_t)$是正的，就要增加概率，如果是负的，就要减少概率。 所以现在$s_t$、$a_t$是$\theta \prime$跟环境互动以后所采样到的数据。但是拿来训练，要调整参数的模型是$\theta$。因为$\theta \prime$跟$\theta$是不同的模型，所以需要用重要性采样技术去做修正。即把$s_t$、$a_t$ 用$\theta$采样出来的概率除掉$s_t$、$a_t$ 用$\theta \prime$采样出来的概率。公式如下。

$$E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}[\frac{p_{\theta }(s_t,a_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)}{A}^{\theta }(s_t,a_t)\mathrm{\nabla }\log p_{\theta }(a_t^n\mid s_t^n)]$$

上式中的$A^{\theta }(s_t,a_t)$有一个上标$\theta$，代表说是演员$\theta$跟环境互动的时候所计算出来的结果。但实际上从$\theta$换到$\theta \prime$的时候，$A^{\theta }(st,at)$应该改成$A^{\theta \prime }(st,at)$，为什么呢？A这一项是想要估测说在某一个状态采取某一个动作，接下来会得到累积奖励的值减掉基线。之前是$\theta$在跟环境做互动，所以可以观察到的是$\theta$可以得到的奖励。但是现在是$\theta \prime$在跟环境做互动，所以得到的这个优势是根据$\theta \prime$所估计出来的优势。但现在先不要管那么多，就假设$A^{\theta }(s_t,a_t)$和$A^{\theta \prime }(s_t,a_t)$可能是差不多的。

接下来，可以拆解$p_{\theta }(s_t,a_t)$和$p_{\theta \prime }(s_t,a_t)$，即

$$\begin{array}{rl}{p}_{\theta }(s_t,a_t)& =p_{\theta }(a_t\mid s_t)p_{\theta }\left(s_t\right)\\ p_{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)& =p_{{\theta }^{\prime }}(a_t\mid s_t)p_{{\theta }^{\prime }}\left(s_t\right)\end{array}$$

于是可得公式

$$E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{\theta }}[\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t\mid s_t)}\frac{p_{\theta }\left(s_t\right)}{p_{{\theta }^{\prime }}\left(s_t\right)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\mathrm{\nabla }\log p_{\theta }(a_t^n\mid s_t^n)]$$

这里需要做一件事情，假设模型是$\theta$的时候，看到$s_t$的概率，跟模型是$\theta \prime$的时候，看到$s_t$的概率是差不多的，即$p_{\theta }(s_t)=p_{\theta \prime }(s_t)$。

为什么可以这样假设呢？一种直观的解释就是$p_{\theta }(s_t)$很难算，这一项有一个参数$\theta$，需要拿$\theta$去跟环境做互动，算$s_t$出现的概率。 尤其是如果输入是图片的话，同样的st根本就不会出现第二次。根本没有办法估这一项，所以就直接无视这个问题。但是$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$很好算，有$\theta$这个参数，它就是个网络。就把$s_t$带进去，$s_t$就是游戏画面。 有个策略的网络，输入状态$s_t$，它会输出每一个$a_t$的概率。所以$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$与$p_{\theta \prime }(a_t\mid s_t)$这两项，只要知道$\theta$和$\theta \prime$的参数就可以算。实际上在更新参数 的时候，就是按照下式来更新参数。公式如下。

$$E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}[\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t\mid s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\mathrm{\nabla }\log p_{\theta }(a_t^n\mid s_t^n)]$$

所以实际上，可以从梯度去反推原来的目标函数，可以用$\nabla f(x)=f(x)\nabla logf(x)$来反推目标函数。当使用重要性采样的时候，要去优化的目标函数如下式所示，把它记$J^{\theta \prime }(\theta )$。括号里面的$\theta$代表需要去优化的参数。用$\theta \prime$去做示范采样数据，采样出$s_t$、$a_t$以后，要去计算$s_t$跟$a_t$的优势，再乘上 $\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}$)。

$$J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}\left[\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t\mid s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\right]$$

4. PPO

注意，由于在 PPO 中$\theta \prime$是${\theta }_{old}$ ，即行为策略也是${\pi }_{\theta }$，所以 PPO 是同策略的算法。

上面通过重要性采样把同策略换成异策略，但重要性采样有一个问题：如果$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$和$p_{\theta \prime }(a_t\mid s_t)$差太多的话，即这两个分布差太多的话，重要性采样的结果就会不好。那么怎么避免差太多呢？这就是 PPO 在做的事情。

PPO在训练的时候，多加一个约束项。 这个约束是$\theta$跟$\theta \prime$输出的动作的KL散度，简单来说，这一项的意思就是要衡量说$\theta$跟$\theta \prime$有多像。希望在训练的过程中，学习出来的$\theta$跟$\theta \prime$越像越好。因为如果$\theta$跟$\theta \prime$不像的话，最后的结果就会不好。所以在 PPO 里面有两项：

1. 一项是优化本来要优化的东西
2. 另一项是一个约束。这个约束就好像正则化的项一样，作用是希望最后学习出来的$\theta$与$\theta \prime$尽量不用差太多。

PPO算法公式如下。

$$\begin{array}{rl}{J}_{\mathrm{PPO}}^{{\theta }^{\prime }}(\theta )& =J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )-\beta \mathrm{KL}(\theta ,{\theta }^{\prime })\\ J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )& =E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{\theta }}\left[\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t\mid s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\right]\end{array}$$

4.1 TRPO

PPO 有一个前身：信任区域策略优化（trust region policy optimization，TRPO），TRPO 的式子如下式所示。

$$\begin{array}{r}{J}_{\mathrm{TRPO}}^{{\theta }^{\prime }}(\theta )=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{\theta }}\left[\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t\mid s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\right]\\ \mathrm{KL}(\theta ,{\theta }^{\prime })<\delta \end{array}$$

TRPO 与 PPO 不一样的地方是约束项摆的位置不一样，PPO 是直接把约束放到要优化的式子里，可以直接用梯度上升的方法最大化这个式子。但TRPO是把 KL 散度当作约束，它希望$\theta$跟$\theta \prime$的 KL 散度小于一个$\delta$。如果使用的是基于梯度的优化时，有约束是很难处理的，因为它把 KL 散度约束当做一个额外的约束，没有放目标里面。PPO 跟 TRPO 的性能差不多，但 PPO 在实现上比 TRPO 容易的多，所以一般就用 PPO，而不用TRPO。

4.2 PPO算法的两个主要变种

（1）近端策略优化惩罚（PPO-penalty）

首先初始化一个策略的参数${\theta }^0$。在每一个迭代里面，要用前一个训练的迭代得到的演员的参数${\theta }^k$去跟环境做互动，采样到一大堆状态-动作的对。 根据${\theta }^k$互动的结果，估测$A^{{\theta }^k}(s_t,a_t)$。如下式所示。

$$J_{\mathrm{PPO}}^{{\theta }^k}(\theta )=J^{{\theta }^k}(\theta )-\beta \mathrm{KL}(\theta ,{\theta }^k)$$

上述KL散度前需要乘一个权重$\beta$，需要一个方法来动态调整$\beta$。 这个方法就是自适应KL惩罚：如果 $KL(\theta ,{\theta }^k)>KLmax$，增加$\beta$；如果 $KL(\theta ,{\theta }^k)<KLmin$，减少 $\beta$。简单来说就是KL散度的项大于自己设置的KL散度最大值，说明后面这个惩罚的项没有发挥作用，就把$\beta$调大。同理，如果KL 散度比最小值还要小，这代表后面这一项的效果太强了，所以要减少$\beta$。近端策略优化惩罚公式如下。

$$\begin{array}{l}{J}_{PPO}^{{\theta }^k}(\theta )=J^{{\theta }^k}(\theta )-\beta KL(\theta ,{\theta }^k)\\ J^{{\theta }^k}(\theta )\approx \sum _{(s_t,a_t)}\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)}{A}^{{\theta }^k}(s_t,a_t)\end{array}$$

（2）近端策略优化裁剪（PPO-clip）

如果你觉得算KL散度很复杂，另外一种PPO变种即近端策略优化裁剪。近端策略优化裁剪要去最大化的目标函数如下式所示，式子里面就没有 KL 散度。

$$\begin{array}{rl}{J}_{\mathrm{PPO}2}^{{\theta }^k}(\theta )\approx \sum _{(s_t,a_t)}min& (\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)}{A}^{{\theta }^k}(s_t,a_t)\\ & \mathrm{clip}(\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)},1-\epsilon ,1+\epsilon )A^{{\theta }^k}(s_t,a_t))\end{array}$$

上式看起来很复杂，其实很简单，它想做的事情就是希望$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$跟$p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)$，也就是做示范的模型跟实际上学习的模型，在优化以后不要差距太大。

• 操作符min作用是在第一项和第二项中选择最小的。
• 第二项前面有个裁剪（clip）函数，裁剪函数是指：在括号里有三项，如果第一项小于第二项，则输出$1-\epsilon$；如果第一项大于第三项的话，则输出$1+\epsilon$。
• $\epsilon$ 是一个超参数，要需要调整，一般设置为0.1或0.2 。

举个栗子，假设设$\epsilon =0.2$，如下式所示。

$$\mathrm{clip}(\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)},0.8,1.2)$$

在上式中，如果$\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)}$计算结果小于0.8，则clip函数值就是0.8；如果结果大于1.2，则取1.2。当然，如果介于0.8~1.2之间，则输入等输出。

详细看看clip函数到底算的是什么。

图1. clip函数

横轴是$\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)}$，纵轴是裁剪函数的输出。

图2. clip函数详细图

如图 2-a 所示， $\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)}$是绿色的线；$\mathrm{clip}(\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)},1-\epsilon ,1+\epsilon )$是蓝色的线；在绿色的线跟蓝色的线中间，要取最小值。假设前面乘上的这个项 A，它是大于 0 的话，取最小的结果，就是红色的这一条线。如图 2-b 所示，如果 A 小于 0 的话，取最小的以后，就得到红色的这一条线。

这其实就是控制$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$跟$p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)$在优化以后不要差距太大。具体来说：

如果 $A>0$，也就是某一个状态-动作的对是好的，希望增加这个状态-动作对的概率。也就是想要让$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$越大越好，但它跟$p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)$)的比值不可以超过$1+\epsilon$。如果超过 $1+\epsilon$ 的话，就没有好处了。红色的线就是目标函数，希望目标越大越好，也就是希望$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$越大越好。但是$\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)}$只要大过 $1+\epsilon$，就没有好处了。所以在训练的时候，当 $p_{\theta }(a_t\mid s_t)$ 被 训练到$\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)}>1+\epsilon$ 时，它就会停止。

假设$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$比$p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)$还要小，并且这个优势是正的。因为这个动作是好的，希望这个动作被采取的概率越大越好，希望$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$越大越好，那就尽量把它变大，但只要大到 $1+\epsilon$ 就好。

如果 $A<0$，也就是某一个状态-动作对是不好的，希望把$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$减小。如果$p_{\theta }(a_t\mid s_t)$比$p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)$还大，那就尽量把它压小，压到$\frac{p_{\theta }(a_t\mid s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t\mid s_t)}$是 $ 1 − ε $\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{候}\mathrm{就}\mathrm{停}\mathrm{了}，\mathrm{就}\mathrm{不}\mathrm{要}\mathrm{再}\mathrm{压}\mathrm{得}\mathrm{更}\mathrm{小}。\mathrm{这}\mathrm{样}\mathrm{的}\mathrm{好}\mathrm{处}\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{不}\mathrm{会}\mathrm{让}$p_θ(a_t∣s_t)$\mathrm{跟}$p_{θ^k}(a_t∣s_t)$差距太大，并且实现这个方法也比较简单。

5. 代码实现

案例：倒立摆问题。钟摆以随机位置开始，目标是将其向上摆动，使其保持直立。 测试环境：Pendulum-v1

动作：往左转还是往右转，用力矩来衡量，即力乘以力臂。范围[-2,2]：（连续空间）

状态：cos(theta), sin(theta) , thetadot。

奖励：越直立拿到的奖励越高，越偏离，奖励越低。奖励的最大值为0。

定义网络结构：

class FeedForwardNN(nn.Module):

  def __init__(self, in_dim, out_dim):
    
    super(FeedForwardNN, self).__init__()

    self.layer1 = nn.Linear(in_dim, 64)
    self.layer2 = nn.Linear(64, 64)
    self.layer3 = nn.Linear(64, out_dim)

  def forward(self, obs):
    
    if isinstance(obs, np.ndarray):
      obs = torch.tensor(obs, dtype=torch.float)

    activation1 = F.relu(self.layer1(obs))
    activation2 = F.relu(self.layer2(activation1))
    output = self.layer3(activation2)

    return output

定义PPO类：

class PPO:

  def __init__(self, policy_class, env, **hyperparameters):

    # PPO 初始化用于训练的超参数
    self._init_hyperparameters(hyperparameters)

    # 提取环境信息
    self.env = env
    self.obs_dim = env.observation_space.shape[0]
    self.act_dim = env.action_space.shape[0]
        
    # 初始化演员和评论家网络
    self.actor = policy_class(self.obs_dim, self.act_dim)                                                
    self.critic = policy_class(self.obs_dim, 1)

    # 为演员和评论家初始化优化器
    self.actor_optim = Adam(self.actor.parameters(), lr=self.lr)
    self.critic_optim = Adam(self.critic.parameters(), lr=self.lr)

    # 初始化协方差矩阵，用于查询actor网络的action
    self.cov_var = torch.full(size=(self.act_dim,), fill_value=0.5)
    self.cov_mat = torch.diag(self.cov_var)

    # 这个记录器将帮助我们打印出每个迭代的摘要
    self.logger = {
      'delta_t': time.time_ns(),
      't_so_far': 0,          # 到目前为止的时间步数
      'i_so_far': 0,          # 到目前为止的迭代次数
      'batch_lens': [],       # 批次中的episodic长度
      'batch_rews': [],       # 批次中的rews回报
      'actor_losses': [],     # 当前迭代中演员网络的损失
    }

  def learn(self, total_timesteps):

    print(f"Learning... Running {self.max_timesteps_per_episode} timesteps per episode, ", end='')
    print(f"{self.timesteps_per_batch} timesteps per batch for a total of {total_timesteps} timesteps")
    t_so_far = 0 # 到目前为止仿真的时间步数
    i_so_far = 0 # 到目前为止，已运行的迭代次数
    while t_so_far < total_timesteps:                                                                  
  
      # 收集批量实验数据
      batch_obs, batch_acts, batch_log_probs, batch_rtgs, batch_lens = self.rollout()                    

      # 计算收集这一批数据的时间步数
      t_so_far += np.sum(batch_lens)

      # 增加迭代次数
      i_so_far += 1

      # 记录到目前为止的时间步数和到目前为止的迭代次数
      self.logger['t_so_far'] = t_so_far
      self.logger['i_so_far'] = i_so_far

      # 计算第k次迭代的advantage
      V, _ = self.evaluate(batch_obs, batch_acts)
      A_k = batch_rtgs - V.detach()                                                                 

      # 将优势归一化 在理论上不是必须的，但在实践中，它减少了我们优势的方差，使收敛更加稳定和快速。
      # 添加这个是因为在没有这个的情况下，解决一些环境的问题太不稳定了。
      A_k = (A_k - A_k.mean()) / (A_k.std() + 1e-10)
            
      # 在其中更新我们的网络。
      for _ in range(self.n_updates_per_iteration):  
  
        V, curr_log_probs = self.evaluate(batch_obs, batch_acts)

        # 重要性采样的权重
        ratios = torch.exp(curr_log_probs - batch_log_probs)

        surr1 = ratios * A_k
        surr2 = torch.clamp(ratios, 1 - self.clip, 1 + self.clip) * A_k

        # 计算两个网络的损失。
        actor_loss = (-torch.min(surr1, surr2)).mean()
        critic_loss = nn.MSELoss()(V, batch_rtgs)

        # 计算梯度并对actor网络进行反向传播
        # 梯度清零
        self.actor_optim.zero_grad()
        # 反向传播，产生梯度
        actor_loss.backward(retain_graph=True)
        # 通过梯度下降进行优化
        self.actor_optim.step()

        # 计算梯度并对critic网络进行反向传播
        self.critic_optim.zero_grad()
        critic_loss.backward()
        self.critic_optim.step()

        self.logger['actor_losses'].append(actor_loss.detach())
                
      self._log_summary()

      if i_so_far % self.save_freq == 0:
        torch.save(self.actor.state_dict(), './ppo_actor.pth')
        torch.save(self.critic.state_dict(), './ppo_critic.pth')

  def rollout(self):
    """
      这就是我们从实验中收集一批数据的地方。由于这是一个on-policy的算法，我们需要在每次迭代行为者/批评者网络时收集一批新的数据。
    """
    batch_obs = []
    batch_acts = []
    batch_log_probs = []
    batch_rews = []
    batch_rtgs = []
    batch_lens = []

    # 一回合的数据。追踪每一回合的奖励，在回合结束的时候会被清空，开始新的回合。
    ep_rews = []

    # 追踪到目前为止这批程序我们已经运行了多少个时间段
    t = 0 

    # 继续实验，直到我们每批运行超过或等于指定的时间步数
    while t < self.timesteps_per_batch:
      ep_rews = []  每回合收集的奖励

      # 重置环境
      obs = self.env.reset()
      done = False
            
      # 运行一个回合的最大时间为max_timesteps_per_episode的时间步数
      for ep_t in range(self.max_timesteps_per_episode):
      
        if self.render and (self.logger['i_so_far'] % self.render_every_i == 0) and len(batch_lens) == 0:
          self.env.render()

        # 递增时间步数，到目前为止已经运行了这批程序
        t += 1

        #  追踪本批中的观察结果
        batch_obs.append(obs)

        # 计算action，并在env中执行一次step。
        # 注意，rew是奖励的简称。
        action, log_prob = self.get_action(obs)
        obs, rew, done, _ = self.env.step(action)

        # 追踪最近的奖励、action和action的对数概率
        ep_rews.append(rew)
        batch_acts.append(action)
        batch_log_probs.append(log_prob)

        if done:
          break
                    
      # 追踪本回合的长度和奖励
      batch_lens.append(ep_t + 1)
      batch_rews.append(ep_rews)

    # 将数据重塑为函数描述中指定形状的张量，然后返回
    batch_obs = torch.tensor(batch_obs, dtype=torch.float)
    batch_acts = torch.tensor(batch_acts, dtype=torch.float)
    batch_log_probs = torch.tensor(batch_log_probs, dtype=torch.float)
    batch_rtgs = self.compute_rtgs(batch_rews)                                                              

    # 在这批中记录回合的回报和回合的长度。
    self.logger['batch_rews'] = batch_rews
    self.logger['batch_lens'] = batch_lens

    return batch_obs, batch_acts, batch_log_probs, batch_rtgs, batch_lens

  def compute_rtgs(self, batch_rews):

    batch_rtgs = []
        
    # 遍历每一回合，一个回合有一批奖励
    for ep_rews in reversed(batch_rews):
      # 到目前为止的折扣奖励
      discounted_reward = 0

      # 遍历这一回合的所有奖励。我们向后退，以便更顺利地计算每一个折现的回报
      for rew in reversed(ep_rews):
                
        discounted_reward = rew + discounted_reward * self.gamma
        batch_rtgs.insert(0, discounted_reward)

    # 将每个回合的折扣奖励的数据转换成张量
    batch_rtgs = torch.tensor(batch_rtgs, dtype=torch.float)

    return batch_rtgs

  def get_action(self, obs):
  
    mean = self.actor(obs)

    # 用上述协方差矩阵中的平均行动和标准差创建一个分布。
    dist = MultivariateNormal(mean, self.cov_mat)
    action = dist.sample()
    log_prob = dist.log_prob(action)

    return action.detach().numpy(), log_prob.detach()

  def evaluate(self, batch_obs, batch_acts):
    """
      估算每个观察值，以及最近一批actor网络迭代中的每个action的对数prob。
    """
        
    # 为每个batch_obs查询critic网络的V值。V的形状应与batch_rtgs相同。
    V = self.critic(batch_obs).squeeze()

    # 使用最近的actor网络计算批量action的对数概率。
    mean = self.actor(batch_obs)
    dist = MultivariateNormal(mean, self.cov_mat)
    log_probs = dist.log_prob(batch_acts)

    # 返回批次中每个观察值的值向量V和批次中每个动作的对数概率log_probs
    return V, log_probs

最终的动画效果如下图：

训练结果如下所示：

Average Episodic Length：200
Average Episodic Return：-76.99
Average actor_loss：0.0017
Average value_loss：0.49982
Iteration：10000

6. 总结

PPO其实就是避免在使用重要性采样时由于在$\theta$下的 $p_{\theta }(a_t\mid s_t)$与在$\theta \prime$ 下的$p_{\theta \prime }(a_t\mid s_t)$差太多，导致重要性采样结果偏差较大而采取的算法。具体来说就是在训练的过程中增加一个限制，这个限制对应着$\theta$和$\theta \prime$输出的动作的 KL 散度，来衡量$\theta$与$\theta \prime$的相似程度。

7. 参考文献

[1]《Reinforcement+Learning: An+Introduction》

[2] https://medium.com/analytics-vidhya/coding-ppo-from-scratch-with-pytorch-part-1-4-613dfc1b14c8